Вопрос №128: -- "Анализ горнолыжной техники. Кубические сплайны".

Делюсь новой информацией. В основе этих работ лежит понятие сплайна, важного объекта прикладной математики, но не только: сплайны также являются фундаментальным явлением природы, аналогично соотношениям, выражаемым через число ПИ. 

Важнейший, кубический сплайн - это кривая, по которой изгибается реальный стержень, с определенным модулем упругости, закрепленный в "опорных" точках. Изгиб упругой линейки, по 2-мерному сплайну, давно применялся конструкторами кораблей и самолетов, для получения гладких, обтекаемых контуров, но общая теория разработана после 2-й Мировой Войны. 

Если стержень не может растягиваться или сжиматься, то кривая описывается набором кубических уравнений: каждое уравнение действует на ограниченном сегменте, между соседними опорными точками. Но есть также дополнительные условия: совпадение касательных на краях соседних уравнений, плавное изменение кривизны, без ступенек и разрывов.

Главное применение кубических сплайнов - это сглаживание данных от измерительных приборов, и вычисление промежуточных значений (интерполяция), когда уравнение зависимости неизвестно. Также они применяются в компьютерной графике, для построения кривых и поверхностей, разновидности сплайнов используются для генерации красивых шрифтов на экранах и принтерах.
В природе есть множество естественных процессов, которые происходят по кривым кубических сплайнов, особенно процессы в неоднородных средах и полях: так изменяются обороты двигателей при смене режима, траектории космических аппаратов при смене орбиты, распределение температур и т.д. Траектория лыж при карвинге, также является кубическим сплайном, а не синусоидой или дугами окружности, как пишут обычно.
Но Российский математик, В.Соловьев, нашел новое свойство: он доказал, что коэффициенты уравнений, в последовательности сегментов кубического сплайна, образуют ряд, выражаемый через "золотое сечение", одно из важнейших отношений в природе.

Китайские ученые, из Дацинского Университета, Лю Сян-Мей и Чао Дан, при разработке MOCAP-системы обнаружили интересное явление. Они использовали сплайн-интерполяцию для вычисления промежуточных положений частей тела, между заданными, опорными кадрами. Оказалось, что погрешность вычисления может сильно изменяться, в зависимости от выбора опорных кадров, но иногда падает почти до 0. Это значит, что траектория не "ложится" на сплайн, а сама является естественным сплайном, аналогично многим природным процессам.
Ученые предположили: при оптимальном выборе, кадры точно совпадают с моментами времени, когда происходят изменения параметров движения человека, но для каждой части тела есть свой оптимальный набор опорных кадров.
Можно считать, что в начале каждого движения действует мгновенный, абстрактный "импульс", действующий на единственный параметр траектории, который можно назвать "скорость изменения кривизны" (3-я производная, в математическом смысле, на картинке внизу).

После пропадания импульса, движение происходит по плавной траектории, определяемой возникшими изменениями, на отрезке времени до следующего движения. Эта модель абсолютно не соответствует реальной работе мышц, но точно описывает процесс.
Был разработан также метод определения последовательности опорных кадров, которая дает минимальную погрешность сплайна: каждый опорный кадр должен точно соответствовать моменту импульса.
В результате, движение каждой части тела, относительно сустава, можно описать последовательностью векторов, задающих направление и величину каждого импульса. Но ведь техника , в любом виде спорта, также сводится к правильному выбору направления, величины и времени движений. Значит метод может использоваться для описания техники, тренеры используют аналогичные понятия: направление усилий, величина ("сильней-слабей"), время начала ("раньше-позже").
Результаты китайских ученых уже используются в медицине: оказалось, что при болезнях и травмах, траектории частей тела больше отклоняются от кривой кубического сплайна, погрешность повышается. Но при этом, "неправильность" движений может быть не видна, и не ощутима человеком.

Мариана Лаппи, из Норвежской Академии Спорта, получила похожие результаты, при анализе усилий, развиваемых мышцами лыжника. Данные записывались во время спуска, при помощи датчиков, установленных на ногах, метод сплайн-интерполяции использовался только для сглаживания сигнала. Но оказалось, что суммарная ошибка изменяется, также в зависимости от выбора опорных точек: когда они совпадали с моментом начала напряжения мышцы, ошибка резко уменьшалась.
Мы видим: результаты очень похожи, но ведь они получены на абсолютно разных данных, разного типа и уровня! Это значит, что абстрактный "импульс", по модели китайских ученых, описывает реальный процесс: момент начала напряжения.
Отсюда следует: тело человека, вместе с мышцами, двигается и деформируется по таким же фундаментальным законам природы, по которым изгибается простой упругий стержень.

Доктор Роберт Рейд, также использовал сплайновую модель для сравнения траекторий лыж и центра масс лыжника. Он получил идеальную траекторию, по которой должен двигаться ЦМ, при известной траектории лыж: обе кривые описываются кубическими сплайнами, с минимальной погрешностью. Но реальное движение ЦМ может сильно отклоняться от теоретической траектории. Было показано, что отклонение обратно пропорционально уровню лыжника: у профессиональных спортсменов минимально, но у лыжников среднего уровня (intermediate), может быть большим. Также выяснилось, что отклонение зависит от качества подготовки трассы: на ровной жесткой трассе меньше, чем на бугристой, или мягкой.

Доктор Рейд предположил, что на ЦМ действуют "лишние" силы, возникающие в результате движений рук и тела, которые не соответствуют траектории спуска. Мы все балансируем руками, если хотим пройти по узкой досочке, над землей: когда появляется наклон, то поднимаем или опускаем руку, создавая момент, который направлен в обратную сторону, наклон выпрямляется. Неопытные горнолыжники чаще теряют равновесие и должны балансировать, с помощью рук и тела, а на мягких, или бугристых трассах потеря равновесия происходит чаще, чем на ровных.
Но начинающие лыжники не могут точно выдерживать усилия, при потере равновесия, балансируют слишком резко и сильно. Силы отдачи, от движений частей тела, суммируются, при этом возникают большие силы: они могут изменять центровку над лыжами, загрузку лыж, или поворачивать лыжника, в зависимости от направления.

Группа ученых, из Университета Инсбрука, поставила эксперимент, по измерению усилий мышц, для поддержания равновесия: горнолыжники разного уровня, спортсмены и любители, балансировали на измерительной платформе, при этом записывались электрические потенциалы мышц, и вычислялась механическая мощность.
Оказалось, что спортсмены балансируют при меньшей мощности, чем любители: разница составляет 35-50%, независимо от типа обуви. В этом эксперименте была получена также "раскачка" равновесия: слишком сильные движения выпрямляют наклон, но равновесие опять нарушается, в противоположную сторону, на больший угол!

В результате не согласованных, лишних движений, ЦМ может иметь траекторию абсолютно другого вида, чем траектория лыж, сильно отклоняясь от оптимальной, энергетически выгодной, но она также описывается кубическим сплайном. Опорные точки соответствуют началу движений, включая "лишние", и приходятся на другие моменты времени. На участках максимальных отклонений возникает большая кривизна, где центробежная сила резко увеличивается, равновесие нарушается сильнее, лыжник опять балансирует, но траектория отклоняется от оптимальной еще больше. Но процесс идет дальше: при слишком сильном отклонении траектории ЦМ, нарушается и траектория лыж, в результате спортсмен тормозит или запаздывает на трассе.
Мы видим: траектории естественных движений, аналогично многим естественным процессам, описываются кубическими сплайнами, а их главное свойство: отсутствие слишком резких изменений кривизны. При росте уровня техники, спортсмены сами приходят к максимально гладким и плавным траекториям, за счет практики, без формальных доказательств.

Можно сделать практический вывод для себя: свойство хорошей техники - это отсутствие лишних, резких, не согласованных движений, даже движений руками или головой, которые не связаны с движением лыж! Они смотрятся неряшливо и неестественно, но также создают реальные внешние силы, мешающие балансу и управлению лыжами. Стараемся ездить строго и элегантно: это более красиво, но и более технично. 

Источник: Ирина Б.